Harmonische Schwingung

Lernziele

  • Sie kennen die Voraussetzung dafür, dass ein Körper harmonisch schwingt, und können nachweisen, ob dies bei einer Schwingung zutrifft

  • Sie wissen, wie Sie die Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung berechnen können

Bedingung für eine harmonische Schwingung

Selbstverständlich muss ein schwingender Körper eine rücktreibende, resultierende Kraft erfahren, wenn er aus seiner Gleichgewichtslage (Ruheposition) gebracht wird. Würde er keine oder gar eine wegtreibende resultierende Kraft erfahren, würde er sich weiter von der Gleichgewichtslage entfernen und nicht schwingen. Das gilt für alle Schwingungen, egal ob sie harmonisch sind oder nicht.

Bei der harmonischen Schwingung gilt zudem, dass die rücktreibende, resultierende Kraft proportional zur Elongation sein muss. Vektoriell lautet die Bedingung:

Diesen Sachverhalt können wir leicht nachweisen. Bei einer harmonischen Schwingung gelten folgende Bewegungsgesetze:

Sehen Sie wie der Term für die Elongation y vollständig in der Gleichung für die Beschleunigung enthalten ist? Also können wir ihn dort ersetzen:

In das zweite Newtonsche Axiom eingesetzt, erhalten wir den gesuchten Zusammenhang:

Wobei für die Richtgrösse k gilt:

Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung

Ein harmonisches Pendel hat unabhängig von der Amplitude stets dieselbe Schwingungsdauer. Diese hängt von der Richtgrösse und der Masse des Pendels ab:

Sofortübung

Zeigen Sie, dass obige Formel für die Schwingungsdauer stimmt, indem Sie in die Formel für die Richtgrösse (siehe letzter Abschnitt) für ω den bekannten Zusammenhang aus der Kreisbewegung (2π/T) einsetzen und nach T auflösen.

Für k erhalten Sie:
k=m(2π)²/T²
Sie brauchen diese Gleichung nur noch nach T aufzulösen.

Das Federpendel

Am Beispiel des Federpendels möchte ich Ihnen zeigen, wie Sie nachweisen können, dass seine Schwingung harmonisch ist. Sie werden zudem erfahren, wie Sie die Schwingungsdauer des Federpendels berechnen können.

Hinweis

An der Prüfung werden Sie zeigen müssen, dass das Fadenpendel harmonisch schwingt. Auch werden Sie die Formel für die Schwingungsdauer des Fadenpendels herleiten müssen. Sie dürfen sich gerne im Internet schlau machen. Denken Sie aber daran, dass ich sehr wohl beurteilen kann, ob Sie die Herleitung verstanden haben oder nicht. Sie dürfen von mir keine weitere Hilfe erwarten.

Hausaufgabe

Lösen Sie Aufgabe 2a) auf Seite 135 sowie Aufgabe 7 auf Seite 136. Geben Sie Ihre Lösungen bis Freitag, 5. März (12.00 Uhr), in Teams ab.