Lageenergie
Lernziele
Sie lernen die allgemeine Definition der Arbeit kennen und wenden diese an, um die Lageenergie eines Körpers zu bestimmen
Sie unterscheiden zwischen Hubarbeit und Lageenergie
Begriffe
Energie ist, wie Sie bereits gelernt haben, eine Zustandsgrösse. Sie können sie sich als Inhalt eines Kruges vorstellen. Um einen Krug zu füllen, schütten Sie etwas hinein (beispielsweise Wasser vom Hahn). Dann können Sie den Inhalt des Kruges nutzen, indem Sie ihn in ein anderes Gefäss (beispielsweise ein Trinkgefäss) rein schütten.
Genauso verhält es sich mit der Energie. Um die Energie eines Systems zu erhöhen, schütten Sie etwas rein. Dieses Etwas nennen die Physiker Arbeit. Nutzen Sie die gespeicherte Energie eines Systems, verrichtet das System Arbeit. Arbeit ist also eine Prozessgrösse. Sie gibt an, wie sich die Energie eines Systems verändert.
Wir werden die Arbeit jetzt dazu brauchen, um eine Formel für die einzelnen Energieformen zu erhalten.
Definition der mechanischen Arbeit
Man definiert die mechanische Arbeit W wie folgt:
Sie kennen vielleicht die Aussage: «Arbeit ist Kraft mal Weg». Diese ist nicht ganz richtig: Sie müssen darauf achten, dass Sie die Kraftkomponente parallel zum Weg in die Gleichung einsetzen. Wirkt eine Kraft senkrecht zum Weg, verrichtet diese Kraft keine Arbeit! Die Einheit der Arbeit ist dieselbe wie für die Energie: das Joule (J).
Einführendes Beispiel: Bierfassrollen
Das Titelbild zu diesem Kurs zeigt einen Mann beim Bierfassrollen im Schwarzwald (DE). Ziel des Wettbewerbs ist es, ein Bierfass über eine Rampe nach oben zu rollen. Alternativ könnte der Mann das Bierfass auch entgegen der Erdanziehung auf die Höhe der Rampe anheben.
Frage
Warum ist es aber für den Mann einfacher, das Fass zu rollen anstatt es zu heben?
Antwort
Will er das Fass heben, so muss er die Gewichtskraft überwinden. Stellt er das Bierfass hingegen auf eine Rampe, so muss (ohne die Reibung) nicht mehr die Gewichtskraft, sondern nur noch die Kraftkomponente der Gewichtskraft parallel zur Ebene überwinden. Diese ist kleiner als das Gewicht und somit wird die aufzuwendende Kraft kleiner.
Sie erinnern sich sicher noch an die Kräftezerlegung (siehe Abbildung): Die parallele Komponente der Gewichtskraft des Fasses ist nur ein Bruchteil der Gewichtskraft. Der Mann kann mit der Rampe also Kraft sparen.
Doch wie sieht es mit der Arbeit aus? Kann der Mann mit einer Rampe auch Arbeit sparen?
Rechnen wir nach:
Um einen Körper der Masse m senkrecht anzuheben, muss die in der Abbildung grün dargestellte Kraft F aufgewendet werden. Diese Kraft ist parallel zum Weg, den der Klotz zurück legen muss, und ist vom Betrag her gleich gross wie die Gewichtskraft des Körpers. Somit kann sie direkt in die Definitionsgleichung der Arbeit eingesetzt werden:
Um das Bierfass senkrecht anzuheben, muss der Mann also oben berechnete Hubarbeit leisten.
Welche Arbeit muss der Mann aufwenden, um das Fass auf einer Rampe hoch zu rollen?
Sie wissen bereits, dass er das Fass mit der parallelen Komponente der Gewichtskraft stossen muss. Aber das ist nicht das Einzige, was sich ändert. Er muss leider die längere Strecke c und nicht nur die Höhe h (in der Abbildung mit a bezeichnet) zurücklegen. Für die Rampe gilt:
mit:
folgt:
Wie Sie unschwer erkennen können, muss der Mann auch mit einer Rampe dieselbe Arbeit verrichten. Kraft kann er sparen, Arbeit aber nicht. Und das entspricht auch dem Energiemodell. Die Energie macht nur Aussagen über Zustände. Es spielt somit keine Rolle, wie das Fass auf die Höhe h angehoben wird. Am Schluss steckt im Fass bezüglich der Starthöhe (=Nullniveau der Lageenergie) immer dieselbe potentielle Energie:
Zusammenfassung
Das einführende Beispiel mit dem Bierfass zeigt uns, dass wir durch Hubarbeit die Lageenergie eines Systems erhöhen können. Dabei spielt es keine Rolle, wie diese Höhe erreicht wird. Beim Bilanzieren mit Energien können Sie die Kräftezerlegung also ruhig in der Schublade lassen. Sie wird nicht gebraucht.
Nun verstehen Sie besser, wieso bei der Lageenergie ein Nullniveau festgelegt werden muss. Wenn Sie auf einem hohen Berg einen Stein um einen Meter anheben, verrichten Sie dieselbe Arbeit, wie wenn Sie im Tal den gleichen Stein um einen Meter anheben. Es kommt nur auf den Höhenunterschied an, also die vertikale Distanz zum jeweiligen Nullniveau.
Für die Lageenergie eines Körpers der Masse m auf der Höhe h über dem Nullniveau gilt:
Sofortübung
Wieso hat ein Federpendel, das gerade durch die Mitte schwingt (Situation 2, siehe letzten Kurs), die Hälfte seiner Gesamtenergie als Lageenergie gespeichert?
Antwort
Weil die Lageenergie proportional zur Höhe ist. Halbe Höhe bedeutet halbe Lageenergie. Das gilt für die Spannenergie offensichtlich nicht, sonst hätte das Federpendel in der mittleren Situation keine Bewegungsenergie... (was ja offensichtlich falsch ist, da das Pendel dort am schnellsten ist).
Aufgabe
Halten Sie die wesentlichen Punkte der Lageenergie in Ihrem Theorieheft fest und geben Sie in Teams ein Foto/Screenshot Ihres Eintrages bis Freitag, 12. Februar 12.00 Uhr, ab. Dann dürfen Sie noch folgende Aufgabe lösen. Diese brauchen Sie nicht einzureichen.
1576 Treppenstufen in 11 Minuten
sda. Der 27-jährige Australier Terry Purcell hat das diesjährige Wettrennen zur Spitze des Empire State Buildings in New York gewonnen. Der Computerspezialist schaffte die 1576 Stufen im engen Treppenhaus des Gebäudes in 10 Minuten und 49 Sekunden. Er liess damit 145 Konkurrenten hinter sich. Ältester Teilnehmer war der 86 Jahre alte Sizilianer Chico Scimone. Mit einer Zeit von 30 Minuten und 54 Sekunden belegte er den letzten Platz. Nächstes Jahr werde er wiederkommen, sagte Scimone. Die Treppenläufer mussten 320 Meter Höhenunterschied bis zur Aussichtsplattform im 89. Stock des Empire State Buildings überwinden. Der Rekord liegt bei 10 Minuten und 18 Sekunden.
Welche Arbeit verrichtet ein 70 kg schwerer Läufer, der auf die Spitze des Empire State Buildings die Treppen hochsteigt?